Юрий Михайлович родился 22 декабря 1923 года в селе Усть-Цильма Коми АССР. В начале Великой Отечественной войны его призвали служить в Красную Армию, а уже в 1942 году в звании лейтенанта его отправили в действующую армию на Западный фронт, где он командовал взводом 1324 стрелкового полка 50-й армии. Солдаты под его командованием участвовали в боевых действиях на подступах к Москве. К сожалению, в 1943 году, после тяжелого ранения ему пришлось вернуться в родную Усть-Цильму.

В послевоенные годы Юрий Михайлович сосредоточился на науке. С 1968 года заведовал кафедрой истории КПСС и научного коммунизма Коми государственного педагогического института. В 1972 году Юрий Михайлович сформировал и возглавил аналогичную кафедру в Сыктывкарском государственном университете им. Питирима Сорокина, а с 1988 года является профессором в этом учебном заведении.

Юрий Михайлович на протяжении многих лет активно участвовал в общественной жизни города: являлся секретарем партийной организации СГУ; членом партийного комитета СГУ; лектором общества ”Знание”; членом Диссертационного совета СГУ по истории.

Рапопорт Юрий Михайлович получил множество наград, среди которых Орден Отечественной войны I степени и медаль «За победу над Германией в Великой Отечественной войне» и медаль «За доблестный труд» в ознаменование 100-летия со дня рождения В. И. Ленина и другие.

Также Юрий Михайлович имеет сразу несколько почетных званий: Заслуженный деятель науки Коми АССР; Заслуженный работник высшей школы Российской Федерации и Заслуженный профессор СГУ им. Питирима Сорокина.